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解決済みの質問

簡単に確率を求める方法

「例えばサイコロ5つを振って、出目5以上が3つ以上出る確率」なんかはどう計算したらいいのでしょう。なるべく平易な表現かつ応用が効くようにお願いします。mだのnだの言われるとアレルギーが…。

投稿日時 - 2018-05-11 06:19:26

QNo.9497257

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

組合せの概念(要するに場合の数)を知らずに確率を計算するのは
無理があります。
通常、場合の数(順列、組合せ)を学んだ後に確率を学びます。
というわけで、まずは場合の数を自分のものにしましょう。

投稿日時 - 2018-05-14 11:06:49

お礼

ご回答ありがとうございます。まずは順列について調べてみます。

投稿日時 - 2018-05-14 22:23:29

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回答(9)

ANo.9

ANo.3の回答者です。
ANo.3では、他の回答と被らないように、敢えて『余事象』の考え方をしました。
「すべての場合(事象)の起こる確率の和は1になる」ということを覚えておいてください。
『正攻法』で行くか『余事象』で行くかは、臨機応変に考えてください。
因みに、この質問では、いずれの考え方をしても、大差ありません。

では、本題に入ります。
なお、ANo.3と同様にサイコロ5つを(1)(2)(3)(4)(5)とします。
また、ANo.3とは視点を変えて、次のように場合分けします。

(a)
(1)~(3)のすべてが出目4以下の場合
(4)と(5)がともに出目5以上であっても、「出目5以上が3つ以上」にはならないので、この場合は除外します。(確率は0)

(b)
(1)~(3)のうちの1つが出目5以上の場合
「出目5以上が3つ以上」になるためには、(4)と(5)がともに出目5以上でなければならず、この確率は出目5以上になるのは(4)と(5)を除くと(1)~(3)の3通りであるから、
1/3×2/3×2/3×3×1/3×1/3=4/81-(ア)

(c)
(1)~(3)のうちの2つが出目5以上の場合
「出目5以上が3つ以上」になるためには、(4)と(5)のいずれか一方が出目5以上であるか、(4)と(5)がともに出目5以上でなければならず、この確率は(1)~(3)のうちの出目5以上になるもの2つの組合せは「(1)と(2)」「(1)と(3)」「(2)と(3)」の3通り、(4)と(5)のいずれか一方が出目5以上になるのは2通りであるから、
1/3×1/3×2/3×3×(1/3×2/3×2+1/3×1/3)=10/81-(イ)

(d)
(1)~(3)のすべてが出目5以上の場合
(4)と(5)の出目は何でもいいので、この確率は
1/3×1/3×1/3×1×1=1/27-(ウ)

以上から、求める確率は(ア)+(イ)+(ウ)となり、4/81+10/81+1/27=17/81(答え)

なお、この考え方のメリットとして、ANo.3では(1)~(5)のうちから2つを選ぶ選び方(組合せ)10通りを列挙しましたが、ここでは(c)の場合に(1)~(3)のうちから2つを選ぶ選び方(組合せ)3通りを列挙するだけで済むので、間違え難くなります。
もちろん、「C(コンビネーション)」の考え方を理解するに越したことはありません。

投稿日時 - 2018-05-14 20:41:28

お礼

ご回答ありがとうございます。(b)は10回、(c)を15回ぐらい読み直しているのですが、式がなぜそうなっているのかがわかりません。…が、2/3は4以下が出る確率なのだろうとおぼろげながら予測が付きました。×3が出てくる理由はまだつかめないのですが…。
学力的には、諸事情で二次関数ぐらいまでの数学知識しかない状態です。ヒント0の状態から完全自力で数列の式(x+(x+1)+(x+2)…の和を求める式)を作れたので(当時のメモが散逸して思い出せないのですが)、適正が全くないわけではないと思うのですが…。

投稿日時 - 2018-05-14 22:21:32

ANo.7

No.2の解き方の説明を少しはしょり過ぎていたようなので補足します。

サイコロを一つ振ったとき、5以上(5か6)が出る確率は1/3、出ない、つまり5未満の確率は2/3で、その和は当然1です。ご質問の問題はサイコロを5個振る場合ですが、手始めに2個振る場合を考えてみます。(説明の都合上、サイコロに(1)(2)と番号を付けます。

すべての場合は次の4通りです。
1:(1)も(2)も5以上。2:(1)は5以上(2)は5未満。3:(1)は5未満(2)は5以上。4:(1)も(2)も5未満。
この確率を考えれば、
1は1/3×1/3=1/9
2は1/3×2/3=2/9
3は2/3×1/3=2/9
4は2/3×2/9=4/9
この4通りの確率の合計は1/9+2/9+2/9+4/9=1 ですが、これは下の式の中辺の各項そのものです。
(1/3+2/3)×(1/3+2/3)=1/3×1/3+1/3×2/3+2/3×1/3+2/3×2/3=1
つまりこの式が1から4の場合すべてを表現しているのです。

サイコロを区別せず、数だけに注目すれば、
1:2個とも5以上。2:1個が5以上でもう1個が5未満。3:2個とも5未満。の3通りで、その確率はそれぞれ、1/9、4/9(=2/9+2/9)、4/9です。 

今まで述べたことを文字式で表すと
サイコロを1回振って5以上(5または6)が出る確率をa、5未満(1,2,3,4)が出る確率をbとします。(a=2/6=1/3、b=4/6=2/3です)

ここで2個振る場合を考えると、(a+b)×(a+b)=a^2+2ab+b^2 の式で
a^2=1/9 は2個とも5以上が出る確率
2ab=4/9 は1個だけ5以上が出る確率
b^2=4/9 は5以上が1個も出ない確率 です。

これはサイコロを3個以上振る場合でも同様で、3個振る場合は(a+b)の3乗を、4個なら4乗を、5個なら5乗を考えればよいのです。
展開した各項(同類項をまとめる前)が起こり得るすべての場合を表現していて、
同類項をまとめて次数順に並べた各項の数値が、それぞれの場合の確率を示しています。この考え方は応用範囲が広いという利点があります。

投稿日時 - 2018-05-14 06:06:57

お礼

ありがとうございます。今までの中で一番わかりやすかったです。(1/3+2/3)を分解するのは移項でしたでしょうか。なんだか、+と-が逆になる(?)という変な部分しか覚えてないのですが…。

投稿日時 - 2018-05-14 07:38:09

ANo.6

コンビネーションとべき乗は確率を計算するときに
必ずと言っていいほど登場します。苦手意識は絶対に克服しないと。
さて、今回の問題についてコンビネーションを使わないとすると…。

以下、5以上の目が出ることを○で、4以下の目が出ることを×で表わします。
1)出目5以上(つまり5か6、以下同様)がちょうど3回出る確率
5回のうちどこか3回で5以上、その他2回は4以下
これをコンビネーションを使わずに全部書き並べます。
○○○××
○○×○×
○○××○
○×○○×
○×○×○
○××○○
×○○○×
×○○×○
×○×○○
××○○○
いかがですか?ちゃんと10とおりになってますよね。5回のうちどの3回が○か
(どの2回が×か、と言いかえてもよい)ですので、5C3 = 5C2 = 10です。
で、1回の試行で5以上の目が出るのは5か6の2とおりですから、その確率は
2/6 = 1/3
一方、4以下の目が出るのは1~4の4とおりですから、その確率は
4/6 = 2/3

でもって、これらの話を式で書くと
5C3・(1/3)^3・(2/3)^2 = 10・4/(3^5) = 40/243

残りも同じ考え方です。

投稿日時 - 2018-05-13 17:52:53

お礼

ご回答ありがとうございます。べき乗はともかく、そもそもコンビネーションという概念を知らないのです。

投稿日時 - 2018-05-14 07:40:46

ANo.5

No.4の計算に2か所誤記がありました。下が訂正版です。(斜字部分を訂正)
なお、表の最後の行(赤字)は、サイコロ5つとも5以上が出る確率である(1/3)の5乗=1/243 を1とした場合、サイコロ4個が5以上、3個が5以上、2個が5以上、1個が5以上、5以上の出目が0個の確率がその何倍になるかという数字です。

この解法は、nCrなどの考え方を直接使わずに手早く計算する便法です。かえってわかりにくいと感じられる場合は、場合分けしてその一つ一つをコツコツ求めてください。

投稿日時 - 2018-05-12 03:32:04

お礼

ご丁寧にありがとうございます。やはり、樹形図を書かないと私のレベルでは厳しいでしょうか…。

投稿日時 - 2018-05-13 17:03:07

ANo.4

No.2です。考え方の基本はNo.2と同様ですが、簡単・効率的な計算法を考えてみました。

1行目から4行目までは「(a+b)の5乗」の各項の係数を計算したものです。係数を覚えているなら4行目から始めてかまいません。これがそれぞれの場合が何通りあるかを示しています。

次の行は5以上の目が5回出る確率(1/3)の5乗=1/243の何倍かという数字です。例えば5以上の目が4回それ以外が1回ならば、(1/3)1個のかわりに2倍の(2/3)を1個かけるので確率は2倍です。

次の6行目は「何通り」と「何倍」の積で、相対的な確率の比を示しています。

求める確率は5以上の目が3回以上出る確率なので、このうち1+10+40が全部の和(243)に占める割合です。

投稿日時 - 2018-05-11 21:58:52

お礼

ご回答ありがとうございます。係数というのは、何かを計算するための基本部分でしたっけ。プログラムで言うならルーチンとかに当たる…。

投稿日時 - 2018-05-13 17:01:50

ANo.3

サイコロ5つを(1)(2)(3)(4)(5)とします。
サイコロ1つについて、出目4以下になる確率は4/6=2/3、出目5以上になる確率は2/6=1/3
サイコロ5つが全て出目4以下になる確率は(2/3)^5=32/243
サイコロ5つのうち、出目4以下が4つで出目5以上が1つになる確率は、出目5以上になるサイコロが(1)~(5)の5通りになるので、(2/3)^4×(1/3)×5=80/243
サイコロ5つのうち、出目4以下が3つで出目5以上が2つになる確率は、出目5以上になるサイコロの組み合わせが「(1)と(2)」「(1)と(3)」「(1)と(4)」「(1)と(5)」「(2)と(3)」「(2)と(4)」「(2)と(5)」「(3)と(4)」「(3)と(5)」「(4)と(5)」の10通りになるので、(2/3)^3×(1/3)^2×10=80/243
求める確率は、上の3通りの場合以外の場合の起こる確率であるから、
1-(32/234+80/243+80/243)=1-192/243=1-64/81=17/81(答え)

投稿日時 - 2018-05-11 12:49:07

お礼

ご回答ありがとうございます。ううん…やはり段階を追って理解するのがどうにも苦手なようで…さらに平易にできないものでしょうか?

投稿日時 - 2018-05-13 16:49:28

ANo.2

サイコロを1回振って5以上(5または6)が出る確率をa、それ以外(1,2,3,4)
が出る確率をbとします。(もちろんa=2/6=1/3、b=4/6=2/3です)

ここで5回振る場合を考えると、
(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 の式で

a^5=1/243 は5以上が5回出る確率
5a^4b=10/243 は5以上が4回出る確率
10a^3b^2=40/243 は5以上が3回出る確率 です。

求める確率はこの3つの場合の和だから
P=1/243+10/243+40/243=51/243=17/81 
「サイコロ5つを振って、出目5以上が3つ以上出る確率」は17/81です。

投稿日時 - 2018-05-11 09:48:08

お礼

ご回答ありがとうございます。ただ、べき乗を使われるととたんに理解力が落ちてしまいます…

投稿日時 - 2018-05-13 16:51:52

ANo.1

1)出目5以上(つまり5か6、以下同様)がちょうど3回出る確率
5回のうちどこか3回で5以上、その他2回は4以下だから、
5C3・(2/6)^3・(4/6)^2 = 10・128/(6^5)
2)出目5以上がちょうど4回出る確率
5回のうちどこか4回で5以上、その他1回は4以下だから、
5C4・(2/6)^4・(4/6)^1 = 5・64/(6^5)
3)出目5以上がちょうど5回出る確率
5回すべてが5以上、4以下は0回だから
5C5・(2/6)^5・(4/6)^0 = 1・32/(6^5)
1)2)3)より、求める確率 = (1280 + 320 + 32)/(6^5) = 1632/7776 = 17/81

投稿日時 - 2018-05-11 08:16:54

お礼

ご回答ありがとうございます。同じく、べき乗を使われるととたんに理解力が落ちてしまいます…あと、Cというのもよくわかりません

投稿日時 - 2018-05-13 16:54:15