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数学の解説お願いします!

この問題の解説をお願いします!
直線lの式はy=2x+3、直線mの式はy=-1/2x+8です。直線lとm、x軸の交点をそれぞれA、Bとします。また直線l上に点Cをとり、x軸上に辺をもつ正方形CDEFをつくります。ただし、点Cのy座標は正の数とします。
☆正方形CDEFの対角線の交点が通る図形の式を求めなさい。またxの変域も求めなさい。
これの問題文の意味が理解できません!
やり方も教えてください!

投稿日時 - 2018-08-11 19:49:07

QNo.9526690

困ってます

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回答(4)

ANo.4

ANo.2 の錯乱を訂正。
 ↑
これは、「長方形 CDEF の『上辺の中点』が通る図形の式を求めなさい」への答案になってる。
もとの御題は「長方形 CDEF の対角線の交点が通る図形の式を求めなさい」… じゃないのか、という指摘を自ら無視。

指摘が正しければ、ANo.2 の答案の y を半分にせねばならない。

>求めたいのは、(A) と (G) を通る直線、
 y = ax+b : a = -4/3, b = 29/3
… かナ?
   ↓
求めたいのは、(A) と (G) を通る直線、
 y = ax+b : a = -2/3, b = 29/6
… かナ?
  

投稿日時 - 2018-08-16 20:58:23

ANo.2のご回答をヒントに、長方形CDEFを考えてみました。

点Cの座標を(a,2a+3)とすると、点D(a,0)、点E(-4a+10,0)、点F=(-4a+10,2a+3)になります。
なお、ANo.1で求めたように、a=1のときには正方形になります。
長方形CDEFの対角線の交点のx座標は、x=(a-4a+10)/2=-(3a-10)/2-(1)
長方形CDEFの対角線の交点のy座標は、y=(2a+3)/2-(2)
式(1)と(2)からaを消去すると、y=-2x/3+29/6-(3)
これが、長方形CDEFの対角線の交点が通る図形(直線)の式になります。
また、式(1)を変形すると、a=-(2x-10)/3
点Cのy座標は正の数であり、aの上限は点Cが点Aと一致するときであるから、-3/2<a≦2
よって、-3/2<-(2x-10)/3≦2
これから、xの変域は、2≦x<29/4


ANo.2のご回答において、h=0 での辺 CF の中点(29/4,0)を考えられたのであるから、この中点とh が最大になる点 A(2,7) を結ぶ直線ではなく、点Aからx軸に下した垂線の足をHとしたときの、線分AHの中点(2.7/2)を結ぶ直線を考える必要がありました。
そうすると、結果は上の式(3)と一致します。
しかし、これを上のように示す必要があると考えます。
また、ANo.2のご回答から、xの変域は、2≦x<29/4になると直感的にわかりますが、これも上のように示す必要があると考えます。

投稿日時 - 2018-08-15 22:08:30

ANo.2

題意は「長方形 CDEF の対角線の交点が通る図形の式を求めなさい」… じゃないのかナ?

添付図にて、「長方形 CDEF」の上辺 CF の x 軸からの高さを h とすると、
h = 0 のときは、
 点 C では y = 0 = 2x+3、つまり点 C の座標は (-3/2, 0)   … (C)
 点 F では y = 0 = (-1/2)x+8、つまり点 F の座標は (16, 0)  … (F)

h が最大になる点 A では、y = 2x+3 = -(1/2)x+8、つまり (5/2)x = 5 だから、
 点 A の座標は (2, 7)   … (A)

h = 0 での辺 CF の中点は、(29/4, 0)   … (G)

求めたいのは、(A) と (G) を通る直線、
 y = ax+b : a = -4/3, b = 29/3
… かナ?
  

投稿日時 - 2018-08-15 08:21:30

点Cの座標を(a,2a+3)とすると、点D(a,0)、点E(3a+3,0)、点F(3a+3,2a+3)になります。
点Fは直線m上にあるので、2a+3=-(3a+3)/2+8
これから、a=1、点C(1,5)、点D(1.0)、点E(6,0)、点F(6,5)

以上のように、正方形CDEFは1つに決まるので、正方形CDEFの対角線の交点を中心に、対角線を回転させてできる図形(円)を考えます。
この円の中心は正方形CDEFの対角線の交点であるから、(1+(6-1)/2,(5-0)/2)=(7/2,5/2)
半径(対角線の長さの1/2)は5√2/2であるから、この円の方程式は、
(x-7/2)^2+(y-5/2)^2=(5√2/2)^2=25/2
xの変域は、7/2-5√2/2≦x≦7/2+5√2/2→(7-5√2)/2≦x≦(7+5√2)/2

これでいいでしょうか?
他には考えようがありません。

投稿日時 - 2018-08-11 21:55:39