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解決済みの質問

三角関数の微分

f(x)=e^arccosxの関数のイメージがまったくわかりません。
y=cosxの逆関数は,y=arccosxで、x=cosyとなります。
そうすると、y=e^yとありえない関数になってしまう気がします。
どこがおかしいのでしょうか。
また、f(x)を微分するとどうなるのでしょうか。

投稿日時 - 2018-08-11 22:10:06

QNo.9526721

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

y=e^(arccos(x)) (≧1)
ln(y)=arccos(x)
cos(ln(y))=x

つまり,

y=e^(arccos(x)) (≧1) は
y=cos(ln(x)) (x≧1) の逆関数
ということです。

y=f(x)=e^(arccos(x))(≧1)
ln(y)=arccos(x)
cos(ln(y))=x
-sin(ln(y))*(1/y)*y'=1
y'= -y/sin(ln(y)) = -{e^(arccos(x)}/sin(arccos(x))
y'=f'(x)= -{e^(arccos(x)}/√(1-x^2) ... (Ans.)

投稿日時 - 2018-08-12 01:02:39

お礼

info33さま
有難うございます。
y'= -y/sin(ln(y)) = -{e^(arccos(x)}/sin(arccos(x))
まではわかりました。
最後の
y'=f'(x)= -{e^(arccos(x)}/√(1-x^2)
が理解できませんでした。

投稿日時 - 2018-08-12 21:06:20

ANo.1

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回答(3)

ANo.3

No.1 です。
お礼コメントの質問の回答
> sin(arccos(x))=√(1-x^2)
がわからないのですね。

u=sin(arccos(x))=sin(v), v=arccos(x), (0≦v≦pi)とおけば
cos(v)=x (-1≦x≦1, 0≦v≦pi) なので
0≦sin(v)≦1,
sin(v)^2=1-cos(v)^2=1-x^2 ≧0,,
∴ u=sin(v)=√(1-x^2)
となります。

投稿日時 - 2018-08-13 02:10:48

お礼

info33 さま
丁寧な説明有難うございます。
よくわかりました。

投稿日時 - 2018-08-13 09:19:31

ANo.2

そういうときにはWolframに出てきてもらいましょう。
e^arccosx
とか
(e^arccosx)'
とか入力すれば一発です。

参考URL:http://ja.wolframalpha.com/

投稿日時 - 2018-08-12 01:04:22

お礼

asuncionさま

使い方がよく分からないのですが、(e^arccosx)'を入力すると、英語版でintegral e^arccosx になってしまいました。differential of e^arccosxにするとx^arccosxかと聞いてきます。なかなかたどりつけませんでした。
でも、情報提供有難うございます。

投稿日時 - 2018-08-12 21:03:08