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解決済みの質問

なぜ固有値・固有ベクトルが関係するのか?

大学初級の線形代数を勉強しています。
対角化するのに、なぜ固有値・固有ベクトルが関係するのでしょうか?
参考書を読んでもよくわからず・・・。解説してほしいです、よろしくお願いいたします!

投稿日時 - 2018-09-12 08:55:24

QNo.9536435

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

[a11,a12][x11]=[λx11]
[a21,a22][x12]...[λx12]
…(1)
が成り立つ時
λを
A
=
[a11,a12]
[a21,a22]
の固有値という
x1
=
[x11]
[x12]
をAの固有値λに対する固有ベクトルという

[a11,a12][x21]=[μx21]
[a21,a22][x22]...[μx22]
…(2)
が成り立つ時
μを
A
の固有値という
x2
=
[x21]
[x22]
をAの固有値μに対する固有ベクトルという
↓(1)と(2)から
[a11,a12][x11,x21]=[x11,x21][λ,0]
[a21,a22][x12,x22]...[x12,x22][0,μ]
↓両辺に
↓[x11,x21]^{-1}
↓[x12,x22]
↓をかけると
[x11,x21]^{-1}[a11,a12][x11,x21]=[λ,0]
[x12,x22].........[a21,a22][x12,x22]...[0,μ]

対角化できた

投稿日時 - 2018-09-14 16:30:47

お礼

ありがとうございます!!とても分かりやすいです

投稿日時 - 2018-09-15 23:02:59

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回答(4)

ANo.4

#1です。
#3さんが2次元のときで詳しく説明しているが,n次元でも全く同じです。
固有値と固有ベクトルの定義から自然に対角行列が出てきます。自分で紙に式を書いて納得してください。

投稿日時 - 2018-09-15 16:06:39

ANo.2

 専門的なことは分かりません。私なりに、下記の本で理解したつもりになってます。人によって本にも相性があるので、参考程度に。
「キーポイント線形代数」薩摩順吉、四ツ谷晶二著(岩波書店:p138)

投稿日時 - 2018-09-13 20:44:38

ANo.1

n次正方行列Aの固有値と固有ベクトルの定義はAx=λx=xλです。このようなλとxの組がn個(ただし各xは線形独立)あれば、xを横に並べて行列Pを作ればAP=PDです。
ただしDは対角行列で対角成分はλとなっているものです。
この式を変形すればP^(-1)AP=Dとなって、対角化ができていることになります。

投稿日時 - 2018-09-12 21:58:04

補足

ありがとうございます。このようなλとxの組がn個(ただし各xは線形独立)あれば、xを横に並べて行列Pを作ればAP=PD =>の部分がよくわかりませんでした。なぜ対角行列のDができるのでしょうか?

投稿日時 - 2018-09-13 08:26:11