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解決済みの質問

二項係数と等式の証明

この問題がわかりません。解答の最初の展開からよくわかりませんでした。
どなたか説明してください。お願いします。

投稿日時 - 2018-09-16 00:09:00

QNo.9537698

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

 青線の部分だけの回答にします。

(1+x)^n*(1+x)^n
=(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)*(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)

これを後ろの括弧内は塊のままにしてひとつずつ展開したのが
nC0(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)+nC1x(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)
+……+nCnx^n(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)
です。

以上がアンダーラインの部分でした。以下は

x^nの項は
(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)の展開式からはnC0*nCnx^n=(nC0*nCn)x^n
nC1x(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)の展開式からはnC1x*nCn-1x^n-1=(nC1*nCn-1x^n-1)x^n
……
nCnx^n(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)の展開式からはnCnx^n*nC0=(nCn*nC0)x^n
を得ます。
だから,x^nの係数は
nC0*nCn+nC1*nCn-1+nC2*nCn-2……nCn-1*nC1+nCn*nC0

と,続きますがもうよろしいようですね。

※ 難しく考えすぎなんじゃないでしょうか。数学の演習問題は難しくなればなる程,泥臭い計算が威力を発揮するものですよ。「何か特別な定理(公式)があるんじゃないか。それがわからない……」ではなく,単純にコツコツと計算することも試してみて下さい。

投稿日時 - 2018-09-16 08:53:40

お礼

ありがとうございました!

投稿日時 - 2018-09-17 20:48:26

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回答(2)

ANo.1

(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}

(1+x)^n=Σ_{k=0~n}(nCk)x^k
(1+x)^n=Σ_{j=0~n}(nCj)x^j
だから
(1+x)^n(1+x)^n
={Σ_{k=0~n}(nCk)x^k}{Σ_{j=0~n}(nCj)x^j}
↓分配則から
=Σ_{k=0~n}(nCk)x^k{Σ_{j=0~n}(nCj)x^j}
↓分配則から
=Σ_{k=0~n}Σ_{j=0~n}(nCk)x^k(nCj)x^j
↓結合交換則から
=Σ_{k=0~n}Σ_{j=0~n}(nCk)(nCj)(x^k)(x^j)
↓指数法則から
=Σ_{k=0~n}Σ_{j=0~n}(nCk)(nCj)x^{k+j}
だから
x^nの項の係数は
k+j=n,(0≦k≦n)
j=n-k,(0≦k≦n)
の時
Σ_{k=0~n}(nCj)(nCk)
↓j=n-kだから
=Σ_{k=0~n}{nC(n-k)}(nCk)
↓nC(n-k)=nCkだから
=Σ_{k=0~n}(nCk)(nCk)
=Σ_{k=0~n}{(nCk)^2}
一方
(1+x)^{2n}=Σ_{m=0~2n}(2nCm)x^m
においてx^nの項の係数は
2nCn
したがって
Σ_{k=0~n}{(nCk)^2}=2nCn
(nC0)^2+(nC1)^2+…+(nCn)^2=2nCn

投稿日時 - 2018-09-16 05:19:50

お礼

ありがとうございました!

投稿日時 - 2018-09-17 20:48:51