パソコンから恋愛まで、みんなの知識、みんなで教えて!

OKWave

解決済みの質問

答えがなくて困っています

y= sin3θcosθの最大値を出してほしいです。
0<θ<π/3です。

投稿日時 - 2018-09-16 17:30:17

QNo.9537930

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

No.1です。少し補足します。

√(1656+264√33)=√4(414+66√33)なので、2をくくりだして約分できますね。
最大値は1/32(√(414+66√33)(二重根号)です。

ついでに別解です。tanx=t とおくと、(0<x<π/3 より0<t<√3)

sin2x=2t/(1+t^2) またcos2x=(1-t^2)/(1+t^2) であるから、
 1/2(sin4x+sin2x)に代入すれば、
 f(t)=1/2[(2t/(1+t^2))(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)] となり、整理すると
f(t)=(3t-t^3)/(1+t^2)^2 となる。…(1)xで微分して整理すれば
f'(t)=(t^4-12t^2+3)/(1+t^2)^3
分母は常に正であるから、f'(t)=0 となるのは分子=0とおいて
t=±√(6±√33)[二重根号、複号は任意]という4実数解のときである
このうち0<t<√3の範囲にあるのは、t=+√(6-√33)(約0.5054)だけであり、
このときf'(t)の符号が、正⇒負 となるので、f(t)は最大値となる。

答え 最大値はf(√(6-√33))=1/32(√(414+66√33)(二重根号)
   ただしこのときx=arctan(√(6-√33)) (二重根号) 

なお(1)のグラフは下の通りで、No.2様が書いてくださった元のsin3xcosxのグラフとは当然形が微妙に異なりますが、0<x<π/3 (0<t<√3)の範囲で、対応する値や最大値(約0.88)はもちろん一致しています。

投稿日時 - 2018-09-18 18:19:32

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(6)

ANo.6

ANo.3 の結末の転記ミスを訂正。

 sin(3*θ02)*cos(3*θ02)≒0.880
  

投稿日時 - 2018-09-18 18:34:37

ANo.4

>0<θ<π/3
… の場合なら、No.1 さんの
>sin3xcosx = 1/2(sin4x+sin2x)
… のほうが簡単ですネ。

右辺の非負零点 x≒0.593 = cos(2θ) から、θ≒0.468 (radian) が得られます。
もう一つは「負零点」なので、第一象限の零点を割り出すのに手がかかる。
  

投稿日時 - 2018-09-18 10:41:09

ANo.3

>y= sin3θcosθの最大値を出してほしいです。
>0<θ<π/3 …

3 倍角公式
 sin3θ= 3sinθ-4sin^3θ
で sinθ = t として、
 sin3θcosθ = (3t-4t^3)*√(1-t^2) = f(t)
                  ↓ 微分
 f’(t) = { 16t^4 + 18t^2 + 3 }/√(1-t^2)

f’(t) の零点 t01, t02 を求めると、
 t01≒0.960 → θ01≒1.287 (radian)
 t02≒0.451 → θ02≒0.468 (radian)
なので、θ02 が
>0<θ<π/3 …
に該当。

明らかに「最大値」らしいから、求めてみる。
 sin(3*θ02)*cos(3*θ02)≒0.870
  

投稿日時 - 2018-09-17 08:42:25

ANo.2

私の回答は、求められている答ではありません。
他の方の回答をイメージで分かりやすく出来ればと口を出しました。
グラフを見ると安心するでしょう。
グラフは、http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2 に
画いて貰いました。

参考URL:http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2

投稿日時 - 2018-09-17 05:30:17

ANo.1

やや計算が面倒なので、少し途中を省略しています。
f(x)=sin3xcosx は、三角関数の積⇒和の公式から
f(x)=1/2(sin4x+sin2x) です。xで微分すると
f'(x)=2cos4x+cos2x
f'(x)=0 とすると
f'(x)=4(cos2x)^2+cos2x-2=0 と変形できるのでcos2x=tとおくと
4t^2+t-2=0 よりt=(-1±√33)/8
また0<x<π/3 より-1/2<t<1 これを満たすtの値は
t=(-1+√33)/8≒0.593… このときf'(x)は正⇒負となるのでf(x)が最大値となる
cos2x=(-1+√33)/8 のときsin2x=(1/8)√(30+2√33) (二重根号)であるから
f(x)=(1/2)((2sin2xcos2x)+sin2x)=(1/64)(√1656+264√33)(二重根号)

答え 最大値は(1/64)(√1656+264√33)(二重根号) (約0.8800862965)
このときxはcos2x=(-1+√33)/8 を満たす(約0.4679647278rad,約26.81240387度)

なおこの最大値は√(207+33√33)/512)(二重根号で左端のルートは右端の/512までかかる)とも表わせます。

投稿日時 - 2018-09-17 01:08:16