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数学

空間ベクトルの問題です (4)の解説お願いします

投稿日時 - 2018-10-10 21:32:55

QNo.9546317

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ベクトルOHは→OHのように表し、「線分」の表記は省略します。

(3)
四角錐O-ABCDの頂点Oから底面ABCDに下した垂線の足(正方形ABCDの対角線の交点)をHとし、この四角錐の断面である二等辺三角形OBDに着目します。
OHとMDの交点をNとして、点MからBDに下した垂線足をH’とすると、OH’= OH/2、HD/H’D=2/3であるから、NH=OH/2×2/3=OH/3、ON=2OH/3
→OH=(→a+→c)/2であるから、→ON=(→a+→c)/3

また、この四角錐の断面である二等辺三角形OACに着目すると、4点P、M、Q、Dが同一平面上にあるためには、
→OP+k→PN=→OQ(kは正の数)
の関係が成り立てばいいので、
p→a+k(→ON-→OP)=q→c
p→a+k{(→a+→c)/3- p→a}=q→c
3p→a+k(→a+→c-3 p→a)=3q→c
(3p+k-3kp)→a+k→c=3q→c
この両辺の→aと→cの係数を比較すると、
3p+k-3kp=0、k=3q
これから、
3p+3q-9pq=0
p+q=3pq
pq≠0であるから、この両辺をpqで割ると、
1/p+1/q=3


(4)
|→AB|^2
=|→b-→a|^2
=|→b|^2-2×→b・→a+|→a|^2
=3^2-2×7+3^2
=4
よって、AB=BC=CD=DA=2

この四角錐の断面である二等辺三角形OBDに着目すると、三平方の定理から、
OH^2=OA^2-BH^2=3^2-(√2)^2=9-2=7
よって、OH=√7
また、三角形MBDに着目すると、余弦定理から、
MD^2
=BM^2+ BD^2-2×BM×BD×cos(∠MBD)
=(3/2)^2+(2√2)^2-2×3/2×(2√2)×(√2)/3
=9/4+8-4
=25/4
よって、MD=5/2
さらに、三角形MBDの面積をSとすると、
2S=BD×MH’=(2√2)×(√7)/2=√14
三角形OMDの面積は、三角形MBDの面積と等しいので、三角形OMDにおいて底辺をMDとしたときの高さをhとすると、
5h/2=√14であるから、h=(2√14)/5
この高さhが、p=q=2/3のときの四角錐O-PMQDの高さになります。

この四角錐の断面である二等辺三角形OACに着目すると、p=q=2/3のときの4点P、M、Q、Dを含む平面の状態について、MDを回転軸としたときの回転角度(傾き)が0であるとします。
このとき、PQとACは平行になります。
p≧qとしたとき(p≦qとしても同様)の傾きをθ(0≦θ<π/2)とすると、
cosθ={(p√2)+(q√2)}/PQ={(p+q) √2)}/PQ
このとき、四角錐O-PMQDの高さは、h×cosθになります。
また、底面積は、MD×PQ/2になります。

以上から、四角錐O-PMQDの体積は、
MD×PQ/2×h×cosθ×1/3
=5/2×PQ/2×(2√14)/5×{(p+q) √2)}/PQ×1/3
={(p+q)√7}/3

四角錐O-PMQDの体積が最小になるのは、p+qの値が最小になるときであるから、(3)の結果からqを消去すると、
1/p+1/q=3
1/q=3-1/p=(3p-1)/p
これから、q=p/(3p-1) (p>1/3)
よって、p+q=p+ p/(3p-1)=3p^2/(3p-1)

ここで、f(p)= 3p^2/(3p-1)とおくと、
f’(p)=6p/(3p-1)+9p^2/(3p-1)^2=9p(p-2/3)/ (3p-1)^2
よって、f(p)はp=2/3のとき極小になり、p>1/3であるから、このとき最小にもなります。

以上から、p=q=2/3のとき、四角錐O-PMQDの体積の最小値:(4√7)/9

さらに補足すると、この問題では、式を組み立てるまでもなく、pとqの値が入れ替わっても四角錐O-PMQDの体積は等しくなる(pとqに対称性がある)ことが分かるので、p=q=2/3のときに体積が最小になると予想できます。

投稿日時 - 2018-10-14 17:46:45

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回答(3)

ANo.2

(2)
a・OD = a・(a - b + c) = |a|^2 - a・b + a・c = a・b = 7
|a|^2 - 7 + 5 = 7, |a{^2 = 9, |a| = 3

投稿日時 - 2018-10-11 03:19:08

ANo.1

とりあえず(1)
ベクトルの矢印は省略します。
OD = AD - AO = AD + OA = BC + OA = OC - OB + OA = a - b + c

投稿日時 - 2018-10-11 01:33:21